Question

13．已知g（x）=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，f（x）=g（x）+5．
（1）m为何值时，g（x）是奇函数；
（2）讨论f（x）单调性；
（3）当g（x）是奇函数，求f（x）＞5的解．

Answer 1

分析 （1）若g（x）是奇函数，利用g（0）=0进行求解；
（2）根据指数函数的单调性进行讨论
（3）当g（x）是奇函数，m=$\frac{1}{2}$，结合指数函数的性质即可求f（x）＞5的解．

解答 解：（1）若g（x）是奇函数，则g（0）=0，即g（0）=m-$\frac{1}{2}=0$；
则m=$\frac{1}{2}$．
（2）f（x）=g（x）+5=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5，
∵y=2^x是增函数，
∴y=2^x+1也是增函数，且y=2^x+1＞1
则y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$为减函数，y=-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$为增函数，
故f（x）=m-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5为增函数；
（3）当g（x）是奇函数时，由（1）知m=$\frac{1}{2}$，
此时f（x）=g（x）+5=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5，
由f（x）＞5得$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+5＞5，
即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＞0．
即$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{{2}^{x}+1}$．
则2^x+1＜2，
即2^x＜1，
解得x＜0，
即不等式的解集为（-∞，0）．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，综合考查函数的性质．