Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在直线y=-x上，半径为2

2

的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x-y+a=0与圆C相交，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圆C与直线y=x相切于坐标原点O，求出C的坐标，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x-y+a=0与圆C相交，则圆心C（-2，2）到直线l的距离d＜2

2

，利用点到直线的距离公式，可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）依题设可知圆心C在直线y=-x上，于是设圆心C（-n，n），（n＞0）
则|OC|2=(-n)2+n2=(2

2

)2，解得n=2，
∴圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（Ⅱ）∵直线l：x-y+a=0与圆C相交，
∴圆心C（-2，2）到直线l的距离d＜2

2

，
即d=

|-2-2+a|

2

＜2

2

，∴|a-4|＜4，
∴0＜a＜8，
∴实数a的取值范围是（0，8）．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．