Question

8．在（1+x+x²）ⁿ=D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ的展开式中，把D${\;}_{n}^{0}$，D${\;}_{n}^{1}$，D${\;}_{n}^{2}$，…，D${\;}_{n}^{2n}$叫做三项式系数．
（1）当n=2时，写出三项式系数D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值；
（2）类比二项式系数性质C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D${\;}_{n+1}^{m+1}$（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明；
（3）求D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用条件求得三项式系数D${\;}_{2}^{0}$，D${\;}_{2}^{1}$，D${\;}_{2}^{2}$，D${\;}_{2}^{3}$，D${\;}_{2}^{4}$的值．
（2）类比二项式系数性质C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），得到三项式系数有如下性质，再根据（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²）的左右两边x^m+1 的系数相等，证得${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$ 成立．
（3）根据（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（x³-1）²⁰¹⁵ 的等式两边的x²⁰¹⁵项的系数相同，从求得要求式子的值．

解答 解：（1）因为（1+x+x²）ⁿ =x⁴+2x³+3x²+2x+1，D${\;}_{2}^{0}$=1，D${\;}_{2}^{1}$=2，D${\;}_{2}^{2}$=3，D${\;}_{2}^{3}$=2，D${\;}_{2}^{4}$=1．
（2）类比二项式系数性质C${\;}_{n+1}^{m}$=C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{n}^{m}$（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：
${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$ （1≤m≤2n-1）．
因为（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ）．
上式左边x^m+1 的系数为${D}_{n+1}^{m+1}$，而上式右边x^m+1 的系数为${D}_{n}^{m+1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m-1}$，
可得 ${D}_{n+1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m+1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m-1}$，（1≤m≤2n-1）．
（3）∵（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（D${\;}_{n}^{0}$+D${\;}_{n}^{1}$x+D${\;}_{n}^{2}$x²+…+D${\;}_{n}^{r}$x^r+…+D${\;}_{n}^{2n-1}$x^2n-1+D${\;}_{n}^{2n}$x²ⁿ）
•（${C}_{2015}^{0}{•x}^{2015}$-${C}_{2015}^{1}$•x²⁰¹⁴+${C}_{2015}^{2}$•x²⁰¹³-${C}_{2015}^{3}$x²⁰¹²+…+${C}_{2015}^{2014}$•x-${C}_{2015}^{2015}$ ），
其中x²⁰¹⁵系数为 D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$，
∵（1+x+x²）²⁰¹⁵ •（x-1）²⁰¹⁵ =（x³-1）²⁰¹⁵，
 而二项式的（x³-1）²⁰¹⁵ 的通项公式 T_r+1=${C}_{2015}^{r}{•{（x}^{3}）}^{2015-r}$，
因为2015不是3的倍数，所以（x³-1）²⁰¹⁵ 的展开式中没有x²⁰¹⁵项，由代数式恒成立，
可得D${\;}_{2015}^{0}$C${\;}_{2015}^{0}$-D${\;}_{2015}^{1}$C${\;}_{2015}^{1}$+D${\;}_{2015}^{2}$C${\;}_{2015}^{2}$-…+（-1）^kD${\;}_{2015}^{k}$C${\;}_{2015}^{k}$+…+D${\;}_{2015}^{2014}$C${\;}_{2015}^{2014}$-D${\;}_{2015}^{2015}$C${\;}_{2015}^{2015}$=0．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题．