题目内容
【题目】已知函数
.
(Ⅰ)若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；
(Ⅱ)若
，证明： 
，总有
.
【答案】(Ⅰ)
； (Ⅱ)见解析.
【解析】
（Ⅰ）求出函数的导数，若函数
存在单调递减区间,则导函数存在小于0的取值区间，不等式变形后，问题转化为
存在取值区间，求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为证
对x∈
恒成立，构造辅助函数g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[1，
]，求导，利用函数单调性证明
；构造辅助函数h(x)＝
，
求导，根据函数单调性证明
；并且g（x）和h（x）不能同时取等号，即可证明不等式
，恒成立.故原不等式恒成立.
(Ⅰ)由题意得
，
若函数存在单调减区间，则
。
即
存在取值区间，即存在取值区间，
所以.
(Ⅱ)当
时，
由有
，从而
，
要证原不等式成立，只要证对
恒成立
即证明对恒成立
首先令
，由
，可知，
当
时
单调递增，当
时单调递减，
所以
，有
构造函数
，，
因为
，
可见，在
时，
，即
在
上是减函数，
在
时，
，即在
上是增函数，
所以,在上，
，所以
.
所以，，等号成立当且仅当
时，
综上：
，由于取等条件不同，
故，所以原不等式成立.
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