题目内容

设a，b，c为正实数，求证：a³+b³+c³+ $数学公式$ ≥2 $数学公式$ ．

证明：因为a，b，c为正实数，所以a³+b³+c³≥3 $\text{[math]}$ =3abc＞0，当且仅当a=b=c时，等号成立．…（5分）
又3abc+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ，当且仅当 3abc= $\text{[math]}$ 时，等号成立．
所以，a³+b³+c³+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ．…（10分）
分析：由条件可得 a³+b³+c³≥3 $\text{[math]}$ =3abc＞0，再由3abc+ $\text{[math]}$ ≥2=2 $\text{[math]}$ ，从而得到a³+b³+c³+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，不等式的基本性质，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．

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