Question

设函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1，其中a为实数．
（1）已知函数g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，直线l₁是曲线f（x）的切线，且l₁⊥l₂，l₂：x-2y-8=0，求直线l₁的方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数可求出a的值，然后根据l₁⊥l₂可求出l₁的斜率，从而可求出切点坐标，求出切线方程；
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间，本题需讨论a与-

1

2

和0的大小关系．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1，
∴f′（x）=ax²-x-（a+1）
则g（x）=f（x）-f′（x）=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1-ax²+x+（a+1）=

a

3

x3-(

1

2

+a)x2-ax
∵函数g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数
∴

1

2

+a=0即a=-

1

2

则f′（x）=-

1

2

x²-x-

1

2

∵l₁⊥l₂，l₂：x-2y-8=0
∴l₁的斜率为-2，即f′（x）=-

1

2

x²-x-

1

2

=-2解得x=1或-3
即切点为（1，-

5

3

）或（-3，1）
∴直线l₁的方程为6x+3y-1=0或2x+y+5=0
（2）f′（x）=ax²-x-（a+1）=（ax-a-1）（x+1）
当a=0时，f′（x）=-x-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）
当a＞0时，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，1+

1

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（1+

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（1+

1

a

，+∞）单调递减区间为（-1，1+

1

a

）
当-

1

2

＜a＜0时，当x∈（-∞，1+

1

a

）时，f′（x）＜0，当x∈（1+

1

a

，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调增区间为（1+

1

a

，-1）单调递减区间为（-∞，1+

1

a

），（-1，+∞）
当a=-

1

2

时，f′（x）≤0恒成立，即函数单调递减区间为（-∞，+∞）
当a＜-

1

2

时，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-1，1+

1

a

）时，f′（x）＞0，当x∈（1+

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调增区间为（-1，1+

1

a

）单调递减区间为（-∞，-1），（1+

1

a

，+∞）

点评：本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及函数的性质，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．