Question

下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为A_ij．
1     4     7     10    13    …
4     8     12    16    20    …
7     12    17    22    27    …
10    16    22    28    34    …
13    20    27    34    41    …
…
（Ⅰ）求A_ij的通项公式；
（Ⅱ）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{b_n}．是否存在正整数p和r （1＜r＜p＜150），使得b₁，b_r，b_p成等差数列．若存在，写出p，r的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）对于（2）中的数列{b_n}，试证不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（I）因为第一行数组成的数列{A_1j}（j=1，2，…）是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A_1j=1+（j-1）×3=3j-2，第j列数组成的数列{ A_ij}（i=1，2，…）是以3j-2为首项，公差为 j+2的等差数列，即可求A_ij的通项公式；
（Ⅱ）假设存在满足条件的p，r，则根据等差中项的性质可知2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），令

r+5=p-1 2(r-1)=p+5

求得p和r．
（Ⅲ）假设存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比数列，则根据等比中项的性质可知b₁b_m=b_k²，根据题意b_n=A_nn=（n+2）²-4；求得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，同时1＜k＜m，则可推断k≥2、m≥3，进而可知（m+2）+（k+2）²-8≥13进而可得出0＜（m+2）+（k+2）²+8=

8

(m+2)+(k+2)2-8

≤

8

13

＜1与（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，推断出不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列．

解答： 解：（I）因为第一行数组成的数列{A_1j}（j=1，2，…）是以1为首项，公差为3的等差数列，
所以A_1j=1+（j-1）×3=3j-2，
第二行数组成的数列{A_2j}（j=1，2，…）是以4为首项，公差为4的等差数列，
所以A_2j=4+（j-1）×4=4j．              …2分
所以A_2j-A_1j=4j-（3j-2）=j+2，
所以第j列数组成的数列{ A_ij}（i=1，2，…）是以3j-2为首项，公差为 j+2的等差数列，
所以A_ij=3j-2+（i-1）×（j+2）=ij+2i+2j-4=（i+2）（j+2）-8．   …4分
（II）假设存在满足条件的p，r，那么那么2（r²+4r-4）=1+（p²+4p-4），
分析可得

r+5=p-1 2(r-1)=p+5

，有r=13，p=19
所以存在r=13，p=19使得b₁，b_r，b_p成等差数列．                  …8分
（III）（反证法）假设存在k、m，1＜k＜m，使得b₁，b_k，b_m成等比数列，
即b₁b_m=b_k²，
∵b_n=A_nn=（n+2）²-8；
∴1×[（m+2）²-8]=[（k+2）²-8]²
得（m+2）²-[（k+2）²-8]²=8，
即[（m+2）+（k+2）²-8][（m+2）-（k+2）²+8]=8，
又∵1＜k＜m，且k、m∈N，
∴k≥2、m≥3，（m+2）+（k+2）²-8≥5+16-8=13
∴0＜（m+2）+（k+2）²+8=

8

(m+2)+(k+2)2-8

≤

8

13

＜1，这与（m+2）-（k+2）²+8∈Z矛盾，
所以不存在正整数k和m（1＜k＜m），使得b₁，b_k，b_m成等比数列．       …13分．

点评：本题主要考查了数列的应用，不等式的证明，等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．