Question

12．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点$（{-1，\frac{3}{2}}）$，椭圆C的右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆的C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点$B（{\frac{1}{2}，0}）$的直线交椭圆C于P，Q两点，且线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得a，$b=\sqrt{3}$，c，可得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）依题意，直线PQ过点$（{\frac{1}{2}，0}）$．①当直线PQ的斜率不为0时，可设其方程为$x=my+\frac{1}{2}$，联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{2}\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去x得4（3m²+4）y²+12my-45=0，设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₀，y₀），直线AR的斜率为k，利用韦达定理表示斜率．在求范围．②当直线PQ的斜率为0时，线段PQ的中点R与坐标原点重合，AR的斜率为0．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）依题意，直线PQ过点$（{\frac{1}{2}，0}）$．①当直线PQ的斜率不为0时，可设其方程为$x=my+\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{2}\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去x得4（3m²+4）y²+12my-45=0，
设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₀，y₀），直线AR的斜率为k，
故${y_1}+{y_2}=-\frac{3m}{{3{m^2}+4}}$，${y_0}=-\frac{3m}{{2（{3{m^2}+4}）}}$，
当m=0时，k=0，
当m≠0时，$k=\frac{1}{{4m+\frac{4}{m}}}$，因为$|{4m+\frac{4}{m}}|=4|m|$$+\frac{4}{|m|}≥8$，故$0＜\frac{1}{{4|m|+\frac{4}{|m|}}}≤\frac{1}{8}$，
当且仅当$4|m|=\frac{4}{|m|}$，即|m|=1时等号成立．
故$0＜k≤\frac{1}{8}$，故$\frac{1}{8}≤k≤\frac{1}{8}$且k≠0．
②当直线PQ的斜率为0时，线段PQ的中点R与坐标原点重合，AR的斜率为0．
综上所述，直线AR的斜率的取值范围为$[{-\frac{1}{8}，\frac{1}{8}}]$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．