Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n+

1

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n•2ⁿ}是等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）欲证明数列{a_n•2ⁿ}是等差数列，只需证明该数列的后一项与前一项的差是常数，把a_n+1=

1

2

a_n+

1

2n+1

两边同乘2ⁿ即可．
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，代入S_n．再用错位相减法求{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
∴{2ⁿa_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）S_n=

2

2

+

3

22

+…+

n+1

2n

①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②有

1

2

Sn=

2

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Sn=3-

n+3

2n

点评：本题考查了等差数列的判断，以及错位相减法求数列的前n项和S_n．