题目内容
【题目】已知椭圆
，且椭圆C上恰有三点在集合
中.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点O为坐标原点，直线AB与椭圆交于A、B两点，且满足
，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值.如果是，请求出定值：如果不是，请明说理由.
（3）在（2）的条件下，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）点O到直线AB的距离为定值
（3）
【解析】
（1）利用椭圆的对称性得椭圆必过
和
，结合椭圆过点
，求得
的值，从而得到椭圆的方程；
（2）设
，
，对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时设为
，
由
得
，代入点到直线的距离公式可得答案；
（3）将弦
表示成关于
的函数，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面积公式，求得三角形面积的最大值.
（1）
和关于原点对称，故由题意知，椭圆C必过此两点
，又当椭圆过点时，
，∴
，
此时满足
，符合题意.
所以椭圆.
又当椭圆过点
时，
，∴
，
此时
，不符合题意.
综上：椭圆.
（2）设，，若斜率存在，则设直线，
由
，得
，
，
由知，
，
代入得，
又原点到直线AB的距离
，
且当AB的斜率不存在时，
，可得
，依然成立.
所以点O到直线AB的距离为定值.
（3）由（2）知，
由（2）知，，
；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立.
所以
；
易知当AB斜率不存在时，
，所以
，
综上得
的面积的最大值为.
练习册系列答案
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【题目】有两种理财产品
和
，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品
投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求实数
的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.