题目内容

【题目】已知椭圆的短轴长为，且椭圆的一个焦点在圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的焦距小于，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若，求

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）由题意可知：b＝1，由焦点在圆上，可求得c，进而求得a，即可求得椭圆方程；

（2设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求．

（1）因为椭圆的短轴长为，所以，则.

圆与轴的交点为，，

故或，

从而或，

故椭圆的方程为或.

（2）设，，由，得.

因为椭圆的焦距小于，所以椭圆的方程为，

当直线的斜率为0时，AF=,BF=,不满足题意，

所以将的方程设为，代入椭圆方程，消去，得，

所以，，

将代入，得.

故 .

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