题目内容
四面体
及其三视图如图所示，过棱
的中点
作平行于
，
的平面分别交四面体的棱
于点
.
（1）证明：四边形
是矩形；
（2）求直线与平面夹角
的正弦值.
及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（1）证明：四边形
是矩形；（2）求直线
与平面夹角的正弦值.（1）证明见解析；（2）
.
.试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：
，
由题设，
∥面
，面
面
，面面
，所以∥
，∥
，所以∥，同理可得
∥
，即得四边形是平行四边形，同时可证
，即证四边形是矩形；（2）以
为坐标原点建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，，设平面的一个法向量
因为∥,∥
，所以
，列出方程组，即可得到平面的一个法向量
，
与的夹角的余弦值的绝对值即为所求.试题解析：（1）由该四面体的三视图可知：
，由题设，
∥面面
面面
面
∥，∥， 
∥.同理
∥，∥， 
∥.
四边形是平行四边形又
平面
∥,∥
四边形是矩形（2）如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面
的一个法向量∥,∥
即得
，取
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.则其中的真命题是( )
