Question

9．已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是$\frac{2}{3}$；  表面积是$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三视图画出几何体的直观图，确定几何体的线面关系和数量关系，由椎体的体积公式求出此几何体的体积；由线面垂直的判定定理和定义证明侧面均为直角三角形，由三角形的面积公式求出三棱锥的表面积．

解答 解：由三视图可知此几何体为一个三棱锥，其直观图如图：
侧棱PA⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，
且∠C=90°，PA=AB=2，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴此几何体的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{2}{3}$；
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PCB为直角三角形，且PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴其表面积S=S_△PAC+S_△PAB+S_△PBC+S_△ABC
=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
=$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$；$3+\sqrt{2}+\sqrt{3}$

点评 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，以及线面垂直的定义和判定定理，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．