Question

19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），求sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值可得函数的解析式．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（$α+\frac{π}{3}$） 的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

解答 解：（1）由图可得A=1，且T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），从而ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可知f（$\frac{α}{2}$）=sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（$α+\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=sin2（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（$α+\frac{π}{3}$） cos（$α+\frac{π}{3}$）=2•$\frac{3}{5}$•（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．