Question

20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中$∠B=\frac{π}{2}，AB=a，BC=\sqrt{3}a$．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．
（1）若$θ=\frac{π}{3}$，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意可知A=$\frac{π}{3}$，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；
（2）用θ 表示出AM，利用正弦定理得出AN关于θ的函数，利用三角恒等变换求出AN取得最小值对应的θ值，再计算MN的长．

解答 解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=$\frac{π}{3}$，
∴∠BMA′=$\frac{π}{3}$，∴BM=$\frac{1}{2}$A′M=$\frac{1}{2}$AM．
∴AM=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2}{3}a$，
∵AB=a，BC=$\sqrt{3}a$，∠B=$\frac{π}{2}$，∴∠A=$\frac{π}{3}$，
∴△AMN是等边三角形，
∴S=2S_△AMN=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}×$$\frac{4{a}^{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}}{9}$．
（2）∵∠BMA′=π-2θ，AM=A′M，
∴BM=A′Mcos∠BMA′=-AMcos2θ．
∵AM+BM=a，即AM（1-cos2θ）=a，
∴AM=$\frac{a}{1-cos2θ}$=$\frac{a}{2si{n}^{2}θ}$．
在△AMN中，由正弦定理可得：$\frac{AN}{sinθ}=\frac{AM}{{sin（π-\frac{π}{3}-θ）}}$，
∴$AN=\frac{AMsinθ}{{sin（\frac{2π}{3}-θ）}}=\frac{a}{{2sinθsin（\frac{2π}{3}-θ）}}$，
令f（θ）=2sinθsin（$\frac{2π}{3}$-θ）=2sinθ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ+$\frac{1-cos2θ}{2}$=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵$θ∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，∴当$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{3}$时f（θ）取最大值，
∴当θ=$\frac{π}{3}$时AN最短，此时△AMN是等边三角形，$MN=AM=\frac{2}{3}a$．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．