Question

若一个无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且

lim

n→∞

S_n=

1

2

，则首项a₁取值范围是______．

Answer 1

设等比数列的首项为a₁，公比为q，
若q=1，则

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

na1不存在
若q≠1，时，

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

∴

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0
∴a1=

1

2

(1-q)
∴0＜a1＜1且a1≠

1

2

故答案为：(0，

1

2

)∪(

1

2

，1)