Question

（2011•崇明县二模）若一个无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且

lim

n→∞

S_n=

1

2

，则首项a₁取值范围是

（0，

1

2

）∪（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：分若q=1，求

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

na1不存在；q≠1，时，由

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

，可得

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0，从而可求

解答：解：设等比数列的首项为a₁，公比为q，
若q=1，则

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

na1不存在
若q≠1，时，

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

∴

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0
∴a1=

1

2

(1-q)
∴0＜a1＜1且a1≠

1

2

故答案为：(0，

1

2

)∪(

1

2

，1)

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，要注意对公比分q=1，≠1两种情况的考虑分别求解数列的和，解题的关键是要由若q≠1，由

lim

n→∞

Sn= 

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

1

2

得

a1

1-q

=

1

2

，且-1＜q＜1且q≠0，解答本题时容易漏掉对q≠0的考虑．