题目内容
已知点P（x0，y0）（y0＞0）是抛物线y2=4x上一点，过点P作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求
的值；
（2）求证：直线AB的斜率为定值．
（1）求
| y1+y2 | y0 |
（2）求证：直线AB的斜率为定值．
分析：（1）由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y2=4x上，知
故y12-y22=4(x1-x2)，所以kAB=
=
，同理，kAP=
，kBP=
，由kAP=-kBP，能求出
的值．
（2）由（1）得kAB=
，由此能够证明直线AB的斜率为定值．
|
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 4 |
| y1+y2 |
| 4 |
| y1+y0 |
| 4 |
| y2+y0 |
| y1+y2 |
| y0 |
（2）由（1）得kAB=
| 4 |
| y1+y2 |
解答：（1）解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y2=4x上，
∴
∴y12-y22=4(x1-x2)，
∵x1≠x2，
∴kAB=
=
，
同理，kAP=
，
kBP=
，
∵kAP=-kBP，
∴
=-
，
∴y1+y2=-2y0，
即
=-2．
（2）证明：由（1）得：
kAB=
=
=-
（定值）．
∴
|
∴y12-y22=4(x1-x2)，
∵x1≠x2，
∴kAB=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 4 |
| y1+y2 |
同理，kAP=
| 4 |
| y1+y0 |
kBP=
| 4 |
| y2+y0 |
∵kAP=-kBP，
∴
| 4 |
| y1+y0 |
| 4 |
| y2+y0 |
∴y1+y2=-2y0，
即
| y1+y2 |
| y0 |
（2）证明：由（1）得：
kAB=
| 4 |
| y1+y2 |
=
| 4 |
| -2y0 |
=-
| 2 |
| y0 |
点评：本题考查直线与抛物线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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