题目内容

已知点P（x0，y0）是渐近线为2x±3y=0且经过定点（6，2
3
）的双曲线C1上的一动点，点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点，设直线PA1与QA2的交点为M（x，y），
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求动点M的轨迹C2的方程；
（3）已知x轴上一定点N（1，0），过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点，x轴上是否存在定点 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出点K的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）直接设设c1方程为 4x2-9y2=λ，又点（6，2
3
）在曲线上代入得λ=36即可得到结论；
（2）结合已知得到KPA 1=
y
x+3
=
y0
x0+3
，KPA 2=
y
x-3
=
-y0
x0-3
；相乘整理即可得到结论；
（3）先联立直线方程与曲线方程，得到y1+y2=
-8t
9+4t2
，y1y2=
-5
9+4t2
；根据∠AKN=∠BKN得到KAN+KBN=0；整理后结合已知条件即可求出结论．
解答：解：（1）可设c1方程为 4x2-9y2=λ，又点（6，2
3
）在曲线上代入得λ=36．
所以双曲线C1的方程为：
x2
9
-
y2
4
=1                      …（4分）
（2）由题意A1（-3，0），A2（3，0），Q（x0，-y0）．
当P异于顶点时，KPA 1=
y
x+3
=
y0
x0+3
，KQA 2=
y
x-3
=
-y0
x0-3

所以 
y2
x2-9
=
-y02
x02-9
=-
4
9
   即  
x2
9
+
y2
4
=1，  (x≠±3)．
当P为顶点时直线PA1与 QA2的交点为顶点
所以      
x2
9
+
y2
4
=1．…（9分）
（3）设L交曲线C2于A（x1，y1），B（x2，y2），可设L方程为x=ty+1 （t≠0）
代入C2方程得   （9+4t2）y2+8ty-32=0
y1+y2=
-8t
9+4t2
，y1y2=
-32
9+4t2
．
若存在K，则KAK+KBK=0，
∴y1（ty2+1-xK）+y2（ty1+1-xK）=0
即  2t•
-32
9+4t2
+（1-xK）•
-8t
9+4t2
=0对t恒成立
所以  xK=9
故点K坐标为（9，0）…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决这类问题的常用方法时，联立直线方程与圆锥曲线方程，再结合已知条件求解．
练习册系列答案
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精英家教网圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），求证：xE•xF是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．
4、已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线l：3x+2y-8=0的异侧，则（　　）
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．
（Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；
（Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（
x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
已知点P（x0，y0）和点A（2，3）在直线l：x+4y-6=0的异侧，则（　　）

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