Question

如图为函数f(x)=

x

(0＜x＜1)的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为
（　　）

• A．[

  1

  4

  ，

  10

  27

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• C．(

  1

  2

  ，

  10

  27

  ]
• D．(

  1

  4

  ，

  8

  27

  )

Answer 1

分析：对函数求导可得，f′（x）=

1

2 x

，根据导数的几何意义先写出过点M的切线方程为y-

t

=

1

2 t

（x-t），进而可得面积S=

t

-t+

t t

4

，令g（t）为一个新的函数，要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，通过g′（t）研究函数函数g（t）在（0，1）上的单调性，结合函数的图象进行求解；

解答：解：解：对函数求导可得，f′（x）=

1

2 x

，由题意可得M（t，

t

），
切线的斜率k=f′（t）=

1

2 t

过点M的切线方程为y-

t

=

1

2 t

（x-t）
则可得P（0，

t

2

），N（0，1），Q（2

t

-t，1），
s_△PNQ=

1

2

PN•NQ=

1

2

（2

t

-t）（1-

t

2

）=

t

-t+

t t

4

，
令g（t）=

t

-t+

t t

4

（0＜t＜1）
g′（t）=

3

8

t

+

1

2 t

-1=

3t-8 t +4

8 t

=

(3 t -2)( t -2)

8 t

，
函数g（t）在（0，

4

9

）单调递增，在[

4

9

，1）单调递减，
由于g（1）=

1

4

，g（

4

9

）=

8

27

，
△PNQ的面积为b时的点M恰好有两个，
即g（t）在（0，1）上与y=b有两个交点，
根据函数的图象可得，

1

4

＜b＜

8

27

，

故选D；

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用：求切线方程；利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，解决本题的关键是构造函数g（t），通过研究该函数的性质，给出相应的函数的图象，本题是一道中档题；