Question

已知一非零向量数列{a_n}满足a₁=（1，1）an=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N^*）．给出以下结论：
①数列{|a_n|}是等差数列，②|a1|•|a5|=

1

2

；③设c_n=2log₂|a_n|，则数列{c_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=2时，T_n取得最大值；④记向量a_n与a_n-1的夹角为θ_n（n≥2），均有θn=

π

4

．其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：利用等差数列的定义、等比数列的定义、向量的模、向量的夹角及数列的前n项和等知识对每个结论逐一判断可得答案．

解答：解：∵|a_n|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

2

xn-12+yn-12

=

2

2

|an-1|，
∴{|a_n|}是首项为|a₁|=

2

，公比为q=

2

2

的等比数列，
∴①不正确．
又∵{|a_n|}是首项为|a₁|=

2

，公比为q=

2

2

的等比数列，
∴|a₁|•|a₅|=|a1|2• q4=(

2

)2•(

2

2

)4=

1

2

，
∴②正确．
又∵{|a_n|}是首项为|a₁|=

2

，公比为q=

2

2

的等比数列，
∴an=2•(

2

2

)n，
∴a1=

2

，a2=1，当n≥3时，an＜1，
∴c₁=1，c₂=0，当n≥3时，c_n＜0，
∴当n=1或2时，T_n取得最大值为1，
∴③不正确．
由已知得：a_n-1•a_n=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=

1

2

（x_n-1²+y_n-1²）=

1

2

|a_n-1|²，
又∵cos＜a_n-1，a_n＞=

an-1•an

|an-1|•|an|

，
将|a_n|=

2

2

|a_n-1|，a_n-1•a_n=

1

2

|a_n-1|²代入上式可得：
cos＜a_n-1，a_n＞=

2

2

，
∴a_n-1与a_n的夹角为θn=

π

4

，
∴④正确．
故答案为②④．

点评：本题以向量为载体，考查等差数列、等比数列及数列前n项和等知识，这是高考考查的重点，在学习中要重点关注．