Question

（2012•资阳一模）已知一非零向量数列{

a

_n}满足

a

₁=（1，1）

a

n=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)（n≥2且n∈N^*）．给出以下结论：
①数列{|

a

_n|}是等差数列；
②|

a

1|•|

a

5|=

1

2

；
③设c_n=2log₂|

a

_n|，则数列{c_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=2时，T_n取得最大值；
④记向量

a

_n与

a

_n-1的夹角为θ_n（n≥2），均有θn=

π

4

．其中所有正确结论的序号是

②④

．

Answer 1

分析：利用等差数列的定义、等比数列的定义、向量的模、向量的夹角及数列的前n项和等知识对每个结论逐一判断可得答案．

解答：解：∵|

a

_n|=

x 2 n + y 2 n

，
∴|

a

_n+1|=

x 2 n+1 + y 2 n+1

=

( xn-yn 2 )2+( xn+yn 2 )2

=

1 2 ( x 2 n + y 2 n )

，
∴

| a  n+1 |

| a  n|

=

2

2

；（常数），
∴{|

a

_n|}是等比数列，其中|

a

 1|=

2

，公比q=

2

2

，
即①不正确．
又∵{|

a

_n|}是首项为|

a

 1|=

2

，公比为q=

2

2

的等比数列，
∴|

a

 1|•|

a

₅|=|

a

 1|²•q⁴=(

2

)2•(

2

2

)4=

1

2

，
∴②正确．
又∵{|

a

_n|}是首项为|

a

₁|=

2

，公比为q=

2

2

的等比数列，
∴

a

 n=2×(

2

2

)n，
∴

a

₁=

2

，

a

₂=1，n≥3，

a

_n＜1，
∴c₁=1，c₂=0，当n≥3时，c_n＜0，
∴当n=1或2时，T_n取得最大值为1，
∴③不正确．
由已知得：

a

_n-1•

a

_n=（x_n-1，y_n-1）•

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）=

1

2

（x_n-1²+y_n-1²）=

1

2

|

a

_n-1|²，
又∵cos＜

a

_n-1，

a

_n＞=

a  n-1 • a  n

| a  n-1|•| a  n|

，
将|

a

_n|=

2

2

|

a

_n-1|，

a

_n-1•

a

_n=

1

2

|

a

_n-1|²代入上式可得：
cos＜

a

_n-1，

a

_n＞=

2

2

，
∴

a

_n与

a

_n-1的夹角为θn=

π

4

，
∴④正确．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查知识间的转化与应用，涉及到数列的判断与证明，通项公式及前n项和公式的灵活运用．这是高考考查的重点，在学习中要重点关注．