Question

2．（1）已知x，y∈R⁺，x≠y，求证：$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$；
（2）如何改进上述结论，使之成为-个更好的结论．

Answer 1

分析 （1）通过对（x+y）²＞2xy（x、y∈R⁺）变形可知$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$＞2，从而$\frac{x+y}{xy}$＞$\frac{2}{x+y}$，整理即得结论；
（2）通过换元，令$\frac{1}{x}$=m、$\frac{1}{y}$=n，整理即得结论．

解答 （1）证明：∵x、y∈R⁺，x≠y，（x+y）²＞2xy，∴$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$＞2，
∴$\frac{x+y}{xy}$＞$\frac{2}{x+y}$，
∴$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$；
（2）解：令$\frac{1}{x}$=m、$\frac{1}{y}$=n，则x=$\frac{1}{m}$、y=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$即m+n＞$\frac{2}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}$，
∴结论为：已知x，y∈R⁺，x≠y，则x+y＞$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．