题目内容

已知A，B是椭圆 $数学公式$ 和双曲线 $数学公式$ 的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，则下列关系正确的是

A.
k₁+k₂=k₃+k₄
B.
k₁+k₃=k₂+k₄
C.
k₁+k₂=-（k₃+k₄）
D.
k₁+k₃=-（k₂+k₄）

C
分析：设出点的坐标，求出斜率的和，利用点在曲线上，化简，即可得到结论．
解答：设M（x，y），则k₁+k₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴k₁+k₂=- $\text{[math]}$
设N（x′，y′），则k₃+k₄= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴k₃+k₄= $\text{[math]}$
∵O，M，N共线
∴ $\text{[math]}$
∴k₁+k₂=-（k₃+k₄）
故选C．
点评：本题考查椭圆与双曲线的综合，考查斜率的计算，正确计算是关键．

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已知A，B是椭圆 $数学公式$ 和双曲线 $数学公式$ 的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足 $数学公式$ ，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄=________．

已知A，B是椭圆

的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足

，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄= ．

已知A，B是椭圆

的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，则下列关系正确的是（）
A．k₁+k₂=k₃+k₄
B．k₁+k₃=k₂+k₄
C．k₁+k₂=-（k₃+k₄）
D．k₁+k₃=-（k₂+k₄）

如图，已知A、B为椭圆

的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且

．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：

；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．