题目内容
已知A，B是椭圆
和双曲线
的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足
，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4= ．
【答案】分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足
及其斜率的计算公式即可求出．
解答：解：∵A，B是椭圆
和双曲线
的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x1，y1），M（x2，y2），∵
，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．
∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴
．
由k1+k2=
=5，化为
，（*）
又∵
，∴
，代入（*）化为
．
k3+k4=
=
，又
，
∴
，
∴k3+k4=
=
=-5．
故答案为-5．
点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．
及其斜率的计算公式即可求出．解答：解：∵A，B是椭圆
和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），∵
，其中λ∈R，∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴
．由k1+k2=
=5，化为，（*）又∵
，∴，代入（*）化为．k3+k4=
=，又，∴
，∴k3+k4=
==-5．故答案为-5．
点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．
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的公共顶点．过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M，N两点，直线MA，MB，NA，NB的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，则下列关系正确的是
，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1，k2，k3，k4，k1+k2=5，则k3+k4=________．
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；