Question

如图，已知A、B为椭圆和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：；
（2）求k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）设F₁、F₂分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x₁，y₁），则k₁•k₂=•=，再利用点P（x₁，y₁）在双曲线上，从而可证；
（2）先计算k₁+k₂=+==•，设Q（x₂，y₂）同理可得k₃+k₄=-•，与共线⇒=，从而可求得k₁+k₂+k₃+k₄的值；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4•，（k₃+k₄）²=4•，PF₁∥QF₂⇒|OF₁|=λ|OF₂|⇒λ²=⇒=，从而得到（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4；问题即可解决．
解答：（1）证明：设P（x₁，y₁），k₁•k₂=•=，且，
∴x₁²-a²=•y₁²，
∴；
（2）解：∵k₁+k₂=+===•，
设Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-•，
又与共线，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴=，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=（-）=0；
（3）解：∵，
∴，又，
∴，又，
∴，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=，
∴=•=，
∴（k₁+k₂）²=4•=4•=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又，，
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8．
点评：本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题、解决问题的能力，属于难题．