Question

8．如图，在直角三角形SOC中，直角边OC的长为4，SC为斜边，OB⊥SC，现将三角形SOC绕SO旋转一周，若△SOC形成的几何体的体积为V，△SOB形成的体积为$\frac{V}{4}$，则V=$\frac{64π}{3}$．

Answer 1

分析 旋转一周后，△SOC形成的几何体为底面半径为4的圆锥，△SOB形成的几何体为两个同底的圆锥，根据他们的体积关系求出B到SO的距离，再根据相似三角形解出SO的长，代入体积公式计算．

解答 解：过B作BA⊥SO于点A，
则V=$\frac{1}{3}•$π4²•SO=$\frac{16π}{3}•$SO，
$\frac{V}{4}$=$\frac{1}{3}$•π•BA²•SA+$\frac{1}{3}$•π•BA²•OA=$\frac{1}{3}$•π•BA²•SO．
∴BA=2，
∴BA是△SOC的中位线，即A是SO的中点，
∵SO⊥SC，
∴△SAB∽△BAO，
∴$\frac{SA}{AB}=\frac{AB}{AO}$，即SA•AO=AB²=4，
∵SA=AO，∴SA=AO=2，∴SO=2SA=4，
∴V=$\frac{16π}{3}•$SO=$\frac{64π}{3}$．
故答案为$\frac{64π}{3}$．

点评 本题考查了旋转体的体积，求出AB的长是关键．