Question

10．若函数y=f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$为奇函数．
（1）确定a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）求函数的值域；
（4）讨论函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可确定a的值；
（2）根据函数出来的条件即可求函数的定义域；
（3）利用分式函数的性质结合指数函数的性质即可求函数的值域；
（4）根据指数函数单调性的性质进行讨论即可判断函数的单调性．

解答 解：（1）∵函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴若f（x）为奇函数，
则f（-x）=-f（x），即$\frac{a•{2}^{-x}-1-a}{{2}^{-x}-1}$=-$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$，
即$\frac{a-{2}^{x}-a•{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$，
则a-2^x-a•2^x=a•2^x-a-1，
（2a+1）=（2a+1）•2^x，
则2a+1=0，则a=-$\frac{1}{2}$．
（2）由2^x-1≠0得x≠0，即函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（3）当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1-a}{{2}^{x}-1}$=$\frac{-\frac{1}{2}•{2}^{x}-1+\frac{1}{2}}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}•$$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=-$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$）=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，
∵2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜-1或$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞0，
则-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞1或-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜0，
即$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞1$-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜$-\frac{1}{2}$，
即函数的值域为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（4）当x＞0时，2^x-1＞0，且y=2^x-1为增函数，则y=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为减函数，y=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为增函数，y=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为增函数，
当x＜0时，2^x-1＜0，且y=2^x-1为增函数，则y=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为减函数，y=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为增函数，y=$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为增函数，
即函数的单调递增区间为（-∞，0），（0，+∞）．

点评 本题主要考查综合考查函数的定义域值域，奇偶性，单调性的性质，利用分式函数的性质以及指数函数的单调性是解决本题的关键．