Question

 设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.

(1) 求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2) 已知点M,F(,0),且点P为轨迹L上动点,求|MP-FP|的最大值及此时点P的坐标.

Answer 1

 (1) 两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心分别为F1(-,0),F2(,0).

由题意得R=CF1-2=CF2+2或R=CF2-2=CF1+2,

所以CF1-CF2=4<2=F1F2.

可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,设方程为-=1,则

2a=4,a=2,c=,b2=c2-a2=1,b=1,

所以轨迹L的方程为-y2=1.

(2) 因为MP-FP≤MF=2,当且仅当=λ(λ>0)时,取“=”.

由kMF=-2知直线lMF:y=-2(x-),联立-y2=1并整理得15x2-32x+84=0,解得x=或x=(舍去),此时P,

所以MP-FP最大值等于2,此时P,-.