Question

14．已知定义在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）=$\frac{tanx}{tanx+1}$．
（1）求f（x）在区间（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）有解．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义，结合x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）=$\frac{tanx}{tanx+1}$，求f（x）在区间（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论．

解答 解：（1）设$-\frac{π}{2}＜x＜0$，则$0＜-x＜\frac{π}{2}$，
∵f（x）是奇函数，则有$f（x）=-f（-x）=-\frac{tan（-x）}{tan（-x）+1}=\frac{tanx}{1-tanx}$…（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{tanx}{tanx+1}，0＜x＜\frac{π}{2}}\\{0，x=0}\\{\frac{tanx}{1-tanx}，-\frac{π}{2}＜x＜0}\end{array}\right.$…（7分）
（2）设$0＜x＜\frac{π}{2}$，令t=tanx，则t＞0，而$y=f（x）=\frac{tanx}{tanx+1}=\frac{t}{t+1}=1-\frac{1}{1+t}$．
∵1+t＞1，得$0＜\frac{1}{1+t}＜1$，从而$0＜1-\frac{1}{1+t}＜1$，
∴y=f（x）在$0＜x＜\frac{π}{2}$的取值范围是0＜y＜1．…（11分）
又设$-\frac{π}{2}＜x＜0$，则$0＜-x＜\frac{π}{2}$，
由此函数是奇函数得f（x）=-f（-x），0＜f（-x）＜1，从而-1＜f（x）＜0．…（13分）
综上所述，y=f（x）的值域为（-1，1），所以m的取值范围是（-1，1）．…（14分）

点评 本题考查奇函数的定义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．