Question

在数列 {a_n}中，已知 a₁=a₂=1，a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，n∈N^*，λ为常数．
（1）证明：a₁，a₄，a₅成等差数列；
（2）设 c_n=2an+2-an，求数列 的前n项和 S_n；
（3）当λ≠0时，数列 {a_n-1}中是否存在三项 a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式可得a₄，a₅，再利用等差数列的定义即可证明；
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，令b_n=a_n+1-a_n，利用等差数列的通项公式可得b_n=a_n+1-a_n=（n-1）λ，即可得出cn=2an+2-an=2(2n-1)λ．利用等比数列的前n项和公式即可得出．
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，用累加法可求得an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n≥2)，当n=1时也适合，假设存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答： （1）证明：∵a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，a₁=a₂=1，
∴a₃=2a₂-a₁+λ=λ+1，
同理，a₄=2a₃-a₂+λ=3λ+1，a₅=2a₄-a₃+λ=6λ+1，
又∵a₄-a₁=3λ，a₅-a₄=3λ，
∴a₄-a₁=a₅-a₄，
故a₁，a₄，a₅成等差数列．
（2）由a_n+a_n+2=λ+2a_n+1，得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+λ，
令b_n=a_n+1-a_n，则b_n+1-b_n=λ，b₁=a₂-a₁=0，
∴{b_n}是以0为首项，公差为λ的等差数列，
∴b_n=b₁+（n-1）λ=（n-1）λ，
即a_n+1-a_n=（n-1）λ，
∴a_n+2-a_n=2（a_n+1-a_n）+λ=（2n-1）λ，
∴cn=2an+2-an=2(2n-1)λ． 
Sn=c1+c2+…+cn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ
当λ=0时，S_n=n，
当λ≠0时，Sn=2λ+23λ+25λ+…+2(2n-1)λ=

2λ(1-22nλ)

1-22λ

．
（3）由（2）知a_n+1-a_n=（n-1）λ，
用累加法可求得an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n≥2)，
当n=1时也适合，∴an=1+

(n-1)(n-2)

2

λ(n∈N*)，
假设存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列，
则(at+1-1)2=(as+1-1)(ap+1-1)，即

t2(t-1)2

4

=

s(s-1)p(p-1)

4

，
∵s，t，p成等比数列，∴t²=sp，
∴（t-1）²=（s-1）（p-1），
化简得s+p=2t，联立 t²=sp，得s=t=p．
这与题设矛盾．
故不存在三项a_s+1-1，a_t+1-1，a_p+1-1成等比数列，且s，t，p也成等比数列．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．