Question

【题目】设函数．

（1）若在处的切线与直线平行，求的值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若函数的图象与轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．

Answer 1

【答案】（1） （2）详见解析（3）证明详见解析.

【解析】

（1）首先求，根据解出的值；

（2）由（1）得，分和两种情况讨论函数的单调区间；

（3）设出函数的图象与轴交于两点的横坐标，利用分析法和根据（2）的结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法，换元法，构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明.

（1）

又因为的图象在处的切线与直线平行，

即，即 ，

解得：；

（2）由（1）得，

的定义域为，

，

①当时，对任意，，

此时函数的单调递增区间为.

②当时，令，解得：，

当时，，当时，，

此时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（3）不妨设，，且，由（2）知，

于是要证明成立，只需证：，即，

①

②，

①-②得，

，

故只需证明，

即证明，

即证明，变形为，

设，令，，

显然当时，，当且仅当时，

在上是增函数，

又，

当时，总成立，命题得证.