题目内容

20．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于90分为优秀，90分以下为非优秀统计成绩后，得到如表的列联表．
优秀非优秀总计
甲班10
乙班30
合计100
已知在全部100人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$．
（1）请完成如表的列联表；
（2）根据列联表的数据，有多大的把握认为“成绩与班级有关系“？
（3）按分层抽样的方法，从优秀学生中抽出6名组成一个样本，再从样本中抽出2名学生，求恰好有1个学生在甲班的概率．
参考公式和数据：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，其中n=a+b+c+d．
下面的临界值表供参考：
p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

分析 （1）由全部100人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$，可以计算出优秀人数为30，从而得到表中各项数据的值；
（2）根据公式计算相关指数K2的观测值，比较临界值的大小，可判断成绩与班级有关系的可靠性程度；
（3）找出满足条件的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．

解答 解：（1）数学考试优秀人数有$100×\frac{3}{10}=30$人，
补充完成列联表如下：

优秀非优秀总计
甲班104050
乙班203050
合计3070100
（2）K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{（10×30-40×20）^{2}×100}{50×50×30×70}=\frac{100}{21}≈4.762$＞3.841，
∵P（K2＞3.841）=0.05，
∴1-0.05=0.95=95%．
∴有95%的把握认为“成绩与班级有关系”；
（3）甲班抽取优秀学生人数为$6×\frac{10}{30}=2$人，记为a，b．
乙班抽取优秀学生人数为6-2=4人，记为1，2，3，4．
从6名学生中取2名学生共有15种结果：
ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34．
记A={恰好有1个学生在甲班}，则A包含8种结果：
a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4．
∴$P（A）=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查了列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键，是中档题．

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