题目内容

12．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的极坐标方程为：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0．
（1）写出曲线C和直线l在直角坐标系下的方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

分析 （1）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），利用平方关系可得普通方程．直线l的极坐标方程为：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0，展开可得：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3$\sqrt{6}$=0，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）设P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，利用点到直线的距离公式可得：点P到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{6}|sin（θ-\frac{π}{4}）-3|}{2}$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1．
直线l的极坐标方程为：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0，
展开可得：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3$\sqrt{6}$=0，
化为：x-$\sqrt{3}$y+3$\sqrt{6}$=0．
（2）设P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
点P到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+3\sqrt{6}|}{2}$=$\frac{\sqrt{6}|sin（θ-\frac{π}{4}）-3|}{2}$≥$\frac{\sqrt{6}×2}{2}$=$\sqrt{6}$，
当sin$（θ-\frac{π}{4}）$=1时取等号．
∴点P到直线l的距离的最小值是$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、平方关系、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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