Question

11．已知函数f（x）=|x-1|-|x+1|．
（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．

解答 解：（1）x＜-1时，f（x）=-x+1+x+1=2＜1，不成立；
-1≤x≤1时，f（x）=-x+1-x-1=-2x，|-2x|＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
x＞1时，f（x）=x-1-x-1=-2，|f（x）|＞1，不成立，
综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}；
（2）a=0时，不等式成立，
a≠0时，|f（x）|≥||1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$||
∵||1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$||＜2，
∴|f（x）|≥2，
x＜-1时，f（x）=-x+1+x+1=2，成立；
-1≤x≤1时，f（x）=-x+1-x-1=-2x，|-2x|≥2，∴x=±1；
x＞1时，f（x）=x-1-x-1=-2，|f（x）|=2，成立，
综上所述实数x的取值范围为{x|x≤-1或x≥1}．

点评 本题主要考查不等式的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．