题目内容

设数列{an}满足：a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)．令bn=
1+24an
．
（1）求证数列{bn-3}是等比数列并求数列{bn}的通项公式；
（2）已知f（n）=6an+1-3an，求证：f(1)•f(2)•…•f(n)＞
1
2
．
分析：（1）由bn=
1+24an
，得an=
b
2
n
-1
24
，代入an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)，可得2bn+1=bn+3，从而可得{bn-3}是首项为2，公比为
1
2
的等比数列，由此可求数列{bn}的通项公式；
（2）法一：先求数列{an}的通项公式，利用f（n）=6an+1-3an，借助于放缩法，即可证得结论；
法二：利用(1+
1
2n-1
)(1-
1
2n
)=1+
1
2n
-
1
22n-1
＞1，进行放缩，即可证得结论；
解答：证明：（1）由bn=
1+24an
，得an=
b
2
n
-1
24
，代入an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)得
b
2
n+1
-1
24
=
1
16
(1+4×
b
2
n
-1
24
+bn)，∴4
b
2
n+1
=(bn+3)2，
∴2bn+1=bn+3，∴2（bn+1-3）=bn-3，
∴{bn-3}是首项为2，公比为
1
2
的等比数列
∴bn-3=2×(
1
2
)n-1，∴bn=(
1
2
)n-2+3
（2）法一：由（2）得an=
1
24
[(
1
2
)n-2+3]2-
1
24
=
2
3
•(
1
4
)n+(
1
2
)n+
1
3

∴f(n)=
1
4n
+
3
2n
+2-
2
4n
-
3
2n
-1=1-
1
4n

∵1-
1
4n
=
(1-
1
4n
)(1+
1
4n-1
)
1+
1
4n-1
=
1+
1
4n-1
-
1
4n
-
1
42n-1
1+
1
4n-1
=
1+
1
4n
+
2
4n
-
1
42n-1
1+
1
4n-1
＞
1+
1
4n
1+
1
4n-1

∴f(1)•f(2)•…•f(n)=(1-
1
4
)(1-
1
42
)…(1-
1
4n
)＞
1+
1
4
1+1
•
1+
1
42
1+
1
4
•…•
1+
1
4n
1+
1
4n-1
=
1+
1
4n
2
＞
1
2

法二：同理由f(n)=1-
1
4n
=(1-
1
2n
)(1+
1
2n
)
∵(1+
1
2n-1
)(1-
1
2n
)=1+
1
2n
-
1
22n-1
＞1
∴f(1)•f(2)…f(n)=(1-
1
2
)(1+
1
2
)(1-
1
4
)(1+
1
4
)…(1+
1
2n-1
)(1-
1
2n
)(1+
1
2n
)＞(1-
1
2
)1•1•…1•(1+
1
2n
)＞
1
2
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，适当放缩是关键．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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