Question

12．已知正数x，y满足x²+y²=1，且x+y≤a恒成立，则实数a的取值范围是a≥$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 换元可得x=cosθ且y=sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），由三角函数的知识可得x+y的最大值为$\sqrt{2}$，可得a的取值范围．

解答 解：∵正数x，y满足x²+y²=1，
∴x=cosθ且y=sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x+y=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴x+y=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）的最大值为$\sqrt{2}$，
要使x+y≤a恒成立，只需$\sqrt{2}$≤a，
∴实数a的取值范围是a≥$\sqrt{2}$
故答案为：a≥$\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式求最值，设三角函数公式和三角函数的最值，属基础题．