Question

类比命题(1),给出命题(2)的结论的猜想.

       (1)如果△ABC的三条边BC、CA、AB上的高分别为h_a、h_b和h_c,△ABC内任意一点P到三条边BC、CA、AB的距离分别为p_a、p_b、p_c,那么=1.

       (2)从四面体的四个顶点A、B、C、D分别向所对的面作垂线,垂线长分别为h_a、h_b、h_c和h_d.P为四面体内任意一点,从点P向A、B、C、D四顶点所对的面作垂线,垂线长分别为p_a、p_b、p_c和p_d,那么诸h_i与诸p_i满足什么关系式(i=a, b, c, d)?

      

Answer 1

解析:类比推理猜想=1.?

       更有趣的是它们的证明也可类比移植,由平面到空间如法炮制.?

       先看命题(1)的证明(面积证法).?

       ∵

       =.?

       同理,.?

       ∵?

       ==1,?

       ∴=1.?

       命题(2)的证明(体积证法),?

       ∵?

       =,?

       同理,.?

       ∵

       =?

       ==1,?

       ∴=1.