Question

类比命题(1),给出命题(2)的结论的猜想.

(1)如果△ABC的三条边BC、CA、AB上的高分别为h_a、h_b和h_c,△ABC内任意一点P到三条边BC、CA,AB的距离分别为P_a,P_b,P_c,那么=1.

(2)从四面体的四个顶点A、B、C、D分别向所对的面作垂线,垂线长分别为h_a、h_b、h_c和h_d.P为四面体内任意一点,从点P向A、B、C、D四顶点所对的面作垂线,垂线长分别为P_a、P_b、P_c和P_d,那么诸h_i与诸P_i满足什么关系式(i=a,b,c,d)?

Answer 1

解:类比推理猜想=1.?

更有趣的是它们证明也可类比移植，由平面到空间如法炮制.?

先看命题（1）的证明（面积证法）:?

∵=,?

同理, =，=.?

∵+====1，?

∴=1.?

命题（2）的证明（体积证法）:

∵==，?

同理,= ,=,=.?

∵+++??

===1,?

∴=1.