题目内容
【题目】如图， 
， 
为
中点，且
平面
， 
.已知
.
（1）求直线
与
所成角；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由
且
平面
，建立以
为原点， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向的空间直角坐标系，再根据
，得出
与
，从而可求出直线
与
所成角；（2）分别求出平面
和平面
的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得二面角
的余弦值.
试题解析：（1）因为
且
平面
，则以
为原点， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向， 
为
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵
∴
， 
， 
， 
， 
， 
，且
， 
.
∴
， 
.
∴
和
的夹角为
.
（2）平面
的法向量
，设平面
的法向量
.
由
， 
且
， 
，
得
，则
，解得
，
取
，则
.
∵二面角
为锐二面角，记为
∴
.
点晴：本题主要考查利用空间向量求二面角，利用空间向量求异面直线所成的角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.
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