Question

【题目】如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．

（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出，，的坐标，利用数量积来确定,，从而得证。

（Ⅱ）求得平面的一个法向量坐标，再利用数量积求得平面的一个法向量坐标，利用向量夹角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，.

（Ⅰ）证明：，，

∵ ，

，

所以,.

∵,

∴平面.

（Ⅱ）由题意可知，平面，平面，

∴

又∵，,

∴平面.

∴平面的一个法向量为.

∵，,

设平面的一个法向量为 ，

则，取,

所以平面的一个法向量为

∴.

显然二面角为锐二面角,

∴二面角的余弦值为