题目内容

设函数f（x）=|1- $数学公式$ |（x＞0），证明：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，ab＞1．

证明：方法一：由师意f（a）=f（b）?|1- $\text{[math]}$ |=|1- $\text{[math]}$ |?（1- $\text{[math]}$ ）²=（1- $\text{[math]}$ ）²?2ab=a+b≥2 $\text{[math]}$
故ab- $\text{[math]}$ ≥0，即 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）≥0，故 $\text{[math]}$ -1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以变为f（x）= $\text{[math]}$
对函数进行分析知f（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 $\text{[math]}$ -1=1- $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2?a+b=2ab≥2 $\text{[math]}$
故ab- $\text{[math]}$ ≥0，即 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1）≥0，
故 $\text{[math]}$ -1≥0，即ab＞1
分析：方法一：当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，
由f（a）=f（b）?|1- $\text{[math]}$ |=|1- $\text{[math]}$ |?（1- $\text{[math]}$ ）²=（1- $\text{[math]}$ ）²?2ab=a+b≥2 $\text{[math]}$ 得到关于ab的不等式，
解出不等式的解集，由解集确定ab＞1．
方法二：去绝对值号将函数变为分段函数，即f（x）= $\text{[math]}$
由函数的单调性及题设条件得0＜a＜1＜b且 $\text{[math]}$ -1=1- $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2，将其变形得到2ab=a+b≥2 $\text{[math]}$ ，解此不等式即可得到结论．
点评：本题考点是绝对值不等式的解法，考查利用绝对值不等式这一工具证明不等式，二者的结合点相当隐蔽，本题需要对题设条件进行转化证明，请注意体会这里的技巧．