Question

5．已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
（1）分别求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{3}$）•k≥b_n恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1，可得a_n+1=4a_n，即有数列{a_n}为首项为1，公比为4的等比数列，运用等比数列的通项公式可得a_n，再由等差数列的通项公式可得d=2，进而得到{b_n}的通项公式；
（2）运用等比数列的求和公式，可得$\frac{1}{3}$k≥$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$的最大值，令c_n=$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$，判断单调性，可得最大值，解不等式可得k的范围．

解答 解：（1）S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），可得
S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1）（n≥2），
即为a_n+1=4a_n，
则数列{a_n}为首项为1，公比为4的等比数列，
则a_n=4^n-1；
等差数列{b_n}满足b₆=6，b₉=12，
设公差为d，可得3d=b₉-b₆=6，
解得d=2，即有b_n=b₆+（n-6）d=2n-6．
（2）对于任意的n∈N^*，（S_n+$\frac{1}{3}$）•k≥b_n恒成立，
即有（$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$+$\frac{1}{3}$）•k≥2n-6，
可得$\frac{1}{3}$k≥$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$的最大值，
令c_n=$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$，
由c_n+1-c_n=$\frac{2（n+1）-6}{{4}^{n+1}}$-$\frac{2n-6}{{4}^{n}}$=$\frac{20-6n}{{4}^{n}}$，
当1≤n≤4时，数列{c_n}递增；
当n≥4时，数列{c_n}递减．
可得c₄为最大值，且为$\frac{1}{128}$，
即有$\frac{1}{3}$k≥$\frac{1}{128}$，
解得k≥$\frac{3}{128}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，注意数列的通项和前n项和的关系，考查数列不等式恒成立的求法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．