Question

13．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$（a∈R）是奇函数，函数g（x）=$\frac{mx}{1+x}$的定义域为（-1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=$\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）根据单调性的定义判断m的范围即可；（3）根据根域系数的关系，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-x+a}{{{x^2}+1}}=-\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$得a=0；
（2）∵$g（x）=\frac{mx}{1+x}$在（-1，+∞）上递减，
∴任给实数x₁，x₂，当-1＜x₁＜x₂时，g（x₁）＞g（x₂），
∴$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{m{x_1}}}{{1+{x_1}}}-\frac{{m{x_2}}}{{1+{x_2}}}=\frac{{m（{x_1}-{x_2}）}}{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}＞0$，
∴m＜0；
（3）由（1）得$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，
令h（x）=0，即$\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{mx}{1+x}=0$，
化简得x（mx²+x+m+1）=0，
∴x=0或 mx²+x+m+1=0，
若0是方程mx²+x+m+1=0的根，则m=-1，
此时方程mx²+x+m+1=0的另一根为1，不符合题意，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，
等价于方程mx²+x+m+1=0（※）在区间（-1，1）上有且仅有一个非零的实根，
①当△=1²-4m（m+1）=0时，得$m=\frac{{-1±\sqrt{2}}}{2}$，
若$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，则方程（※）的根为$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1∈（{-1，\;1}）$，符合题意；
若$m=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意，
∴$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
②当△＞0时，令h（x）=mx²+x+m+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）•h（1）＜0}\\{h（0）≠0}\end{array}\right.$，得-1＜m＜0，
综上所述，所求实数m的取值范围是$（{-1，\;0}）∪\left\{{\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}}\right\}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题、奇偶性问题，是一道中档题．