Question

已知定点A（a，0）和椭圆x²+2y²=8上的动点P（x，y）
（1）a=2且|PA|=

3 2

2

，计算点P的坐标；
（2）若0＜a＜3且|PA|的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）根据a=2，得A点的坐标，从而得到|PA|=

(x-2)2+y2

=

3 2

2

，再结合椭圆的方程x²+2y²=8联解可得x=1或7（其中x=7＞2

2

不合题意舍去），回代到方程组中可以求出y的值，从而得出点P的坐标；
（2）设P点坐标为（x，y），可得|PA|²=（x-a）²+y²，再根据椭圆方程得到y2=4-

x2

2

代入上式，得关于x的二次函数g（x）=

1

2

x2-2ax+a2+4，再讨论它的对称轴x=2a与3的大小关系，得到g（x）在区间[- 2

2

，2

2

]的最小值的两种不同情况，进行分类讨论，最后解关于a的方程，综合可得实数a的值．

解答：解：（1）若a=2，则A（2，0），设P点坐标为（x，y），
由|PA|=

3 2

2

，可得(x-2)2+y2=

9

2

…①…（3分）
∴

2(x-2)2+2y2=9  x2+2y2=8

，消去y得x²-8x+7=0，
解之得x=1或7，其中x=7＞2

2

不合题意舍去．…（5分）
将x=1代入①，解得

x=1 y=± 14 2

，
所以点P的坐标为(1， ±

14

2

)…（7分）
（2）设P点坐标为（x，y），可得|PA|²=（x-a）²+y²
将y2=4-

x2

2

代入上式，
得|PA|²=

1

2

x2-2ax+a2+4（其中- 2

2

≤x≤2

2

）…（9分）
令g（x）=

1

2

x2-2ax+a2+4，
g（x）是一个二次函数，其对称轴方程为x=2a
①若0＜2a＜2

2

，即0＜a＜

2

，
则g（x）_min=g（2a）=4-a²=1，
解得a=±

3

（舍去）…（11分）
②若2

2

≤2a＜6，即

2

≤a＜3，
则g(x)min=g(2

2

)=8-4

2

a+a2=1，
解得a=2

2

±1，其中a=2

2

+1不合题意，舍去．
所以a=2

2

-1…（13分）
综上可知，a=2

2

-1．…（14分）

点评：本题对圆锥曲线中的距离计算和距离的最小值的问题加以研究，着重考查了椭圆的标准方程和二次函数求闭区间上的最值等知识点，属于中档题．