Question

已知定点A（12，0），M为曲线（x-6）²+y²=4上的动点，
（1）若

AP

= 2

AM

，试求动点P的轨迹C的方程
（2）若直线l：y=-x+a与曲线C相交与不同的两点E，F．O为坐标原点，且

OE

•

OF

=12，实数a的值．

Answer 1

分析：设P（x，y），M （a，b）
（1）由

AP

=2

AM

可得a，b与x，y之间的关系，结合M（a，b）为为曲线（x-6）²+y²=4上的点可求x，y的关系，即可求曲线C 的方程
（2）联立直线y=-x+a与曲线C的方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，结合y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=

a2-16

2

及

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂，代入可求a

解答：解：设P（x，y），M （a，b）
（1）

AP

=(x-12，y)，

AM

=(a-12，b)
∵

AP

=2

AM

∴

x-12=2(a-12) y=2b

∴

b= 1 2 y a= 1 2 x+6

∵M（a，b）为为曲线（x-6）²+y²=4上的点
∴（a-6）²+b²=4上
∴

x

4

2+

y2

4

=4，即动点C的轨迹方程为x²+y²=16
（2）联立方程

y=-x+a x2+y2=16

可得2x²-2ax+a²-16=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则x₁+x₂=a，x1x2=

a2-16

2

∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=

a2-16

2

∴

OE

•

OF

=x₁x₂+y₁y₂=a²-16=12
∴a²=28
∴a=±2

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点评：本题考查利用相关点法求解点的轨迹方程，直线与曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的数量积的坐标表示等综合应用