Question

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（0，-4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足

OR

•

OT

=

16

7

（O为原点）．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆，从而动点P的轨迹方程；
（II）假设存在满足题意的直线L，设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x1x2+y1y2=

16

7

．从而求得直线方程．

解答：解：（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴p点轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，

OR

•

OT

＜0不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x1x2+y1y2=

16

7

．
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 =1

得(3+4k2)x2-32kx+16=0．由△＞0得，(-32k)2-4(3+4k2)•16＞0解得k2＞

1

4

．…①．
∴x1+x2=

32k

3+4k2

，x1•x2=

16

3+4k2

．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
故x1x2+y1y2=

16

3+4k2

+

16k2

3+4k2

-

128k2

3+4k2

+16=

16

7

．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直线l的方程为y=±x-4．
故存在直线l：，x+y+4=0或x-y-4=0，满足题意．

点评：本题考查椭圆定义的运用及待定系数法求椭圆方程；（II）关键是将条件等价变形，同时应注意分类讨论．