Question

已知定点A（-2，0），B（2，0），及定点F（1，0），定直线l：x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的

1

2

倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆；
（2）设出椭圆上的点C的坐标，进而写出直线AC、BC的方程，分别求出点P、Q的坐标，只要判断k_PF•k_QF=-1是否成立即可．

解答：解：（1）由椭圆的第二定义可知：
点M的轨迹E是以定点F（1，0）为焦点，离心率e=

1

2

，直线l：x=4为准线的椭圆（除去与x轴相交的两点）．
∴c=1，

c

a

=

1

2

，∴a=2，b²=2²-1²=3，
∴点M的轨迹为椭圆E，其方程为

x2

4

+

y2

3

=1（除去（±2，0））．
（2）以线段PQ为直径的圆经过定点F．下面给出证明：
如图所示：设C（x₀，y₀），（x₀≠±2），则直线AC的方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，则y_P=

6y0

x0+2

，∴P(4，

6y0

x0+2

)，∴kPF=

6y0 x0+2

4-1

=

2y0

x0+2

；
直线BC的方程为：y=

y0

x0-2

(x-2)，令x=4，则y_Q=

2y0

x0-2

，∴Q(4，

2y0

x0-2

)，∴k_QF=

2y0 x0-2

4-1

=

2y0

3(x0-2)

．
∴k_PF•k_QF=

2y0

x0+2

×

2y0

3(x0-2)

=

4y02

3(x02-4)

，
∵点C（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，∴

x02

4

+

y02

3

=1，∴

4y02

3(x02-4)

=-1，
∴k_PF•k_QF=-1．
因此以线段PQ为直径的圆经过定点F．

点评：熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系是解题的关键．