Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，

 

G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）G点到平面PEC的距离为. 

【解析】本试题主要考查了线面的位置关系的运用，点到面的距离的求解。

线面平行的判定和线面垂直的判定的综合运用。

（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA     ∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG又PD⊥AG，从而由判定定理得到结论。

（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知线面平行。

（3）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 

 ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF，然后利用转换顶点得到体积的求解。

解（Ⅰ）

，

证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    

∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG

又PD⊥AG     

∴AG⊥平面PCD           …………4分

（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD 

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，

∴AG∥平面PEC     ………………7分

（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 

 ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF      ……………8分

∥ ＝

PA＝AB＝4， G为PD中点，FG    CD

∴ FG＝2        ∴ AE＝FG＝2                    ………………………9分

∴                 ………………………10分

又EF⊥PC，EF＝AG

∴         ………………………11分

又 ，∴，即，∴

∴ G点到平面PEC的距离为.               ………………………12分网