Question

如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上．

(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．

(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积．

Answer 1

 (1)(法一)连接OC.

设BC＝x，矩形ABCD的面积为S，

则AB＝2，其中0<x<30.

所以S＝2x＝2≤x²＋(900－x²)＝900，

当且仅当x²＝900－x²，即x＝15时，S取得最大值为900 cm².

(法二)连接OC.设∠BOC＝θ，矩形ABCD的面积为S，

则BC＝30sin θ，OB＝30cos θ，其中0<θ<.

所以S＝AB·BC＝2OB·BC＝900 sin 2θ.

当sin 2θ＝1，即θ＝时，

S取最大值为900 cm²，此时BC＝15.

所以取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm².

(2)(法一)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V，

由AB＝2＝2πr，得r＝，

所以V＝πr²h＝ (900x－x³)，其中0<x<30.

由V′＝ (900－3x²)＝0，得x＝10，

因此V＝ (900x－x³)在(0,10)上是增函数，在(10，30)上是减函数．

所以当BC＝10时，V取得最大值为 cm³.

(法二)连接OC.设∠BOC＝θ，圆柱底面半径为r，高为h，体积为V，则圆柱的底面半径为r＝，高h＝30sin θ，其中0<θ<.

所以V＝πr²h＝sin θcos²θ

＝ (sin θ－sin³θ)．

设t＝sin θ(0＜t＜1)，则V＝ (t－t³)．

由V′＝ (1－3t²)＝0，得t＝.

因此V＝ (t－t³)在上是增函数，在上是减函数，

所以当t＝，即sin θ＝，BC＝10时，V取得最大值为 cm³.

所以取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm³.